Trong đại số ma trận lặp, chúng ta cần một khung toán học nghiêm ngặt để đo lường "kích thước" của các vectơ và ma trận. Các chỉ số này giúp xác định xem một giá trị xấp xỉ có đang tiến gần đến nghiệm đúng hay không. Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận ánh xạ các mảng đa chiều vào các số thực không âm, đồng thời duy trì các tính chất đại số cụ thể giúp giới hạn sai số và đảm bảo hội tụ.
Cơ sở tiên đề của các chuẩn
Định nghĩa 7.1: Chuẩn vectơ
Một chuẩn vectơ $\|\cdot\|$ trên $\mathbb{R}^n$ phải thỏa mãn bốn điều kiện:
- Không âm: $\|\mathbf{x}\| \geq 0$
- Tính xác định: $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
- Tính thuần nhất tuyệt đối: $\|\alpha \mathbf{x}\| = |\alpha| \|\mathbf{x}\|$
- Bất đẳng thức tam giác: $\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$
Các chỉ số chính: $l_2$ và $l_\infty$
Theo Định nghĩa 7.2, các chuẩn quan trọng nhất cho phân tích số học là:
- Chuẩn Euclid ($l_2$): $\|\mathbf{x}\|_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \}^{1/2}$. Về hình học, đây là khoảng cách ngắn nhất từ gốc tọa độ.
- Chuẩn cực đại ($l_\infty$): $\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$. Điều này phản ánh độ lớn lớn nhất trong các thành phần.
Những định nghĩa này cho phép chúng ta xác định khoảng cách giữa nghiệm đúng $\mathbf{x}$ và nghiệm xấp xỉ $\mathbf{y}$ là $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ (Định nghĩa 7.4).
Chuẩn ma trận và sự khuếch đại sinh ra
Chuẩn ma trận bổ sung thêm một tính chất thứ năm "phép nhân con" (Định nghĩa 7.8): $\|A B\| \leq \|A\|\|B\|$.
Định lý 7.11: Tổng hàng cực đại
Với một ma trận vuông $n \times n$ là $A$, chuẩn $l_\infty$ tự nhiên được tính bằng giá trị lớn nhất của tổng tuyệt đối các phần tử theo từng hàng:
$$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$
Ví dụ minh họa: Tính toán vectơ và ma trận
Xét $\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ và $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
Chuẩn vectơ
$\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|-1|, |1|, |-2|) = 2$.$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449$.
Chuẩn $l_\infty$ của ma trận
Hàng 1: $|1|+|2|+|-1|=4$Hàng 2: $|0|+|3|+|-1|=4$
Hàng 3: $|5|+|-1|+|1|=7$
Kết quả: $\|A\|_\infty = 7$.
🎯 Nguyên lý cốt lõi
Mặc dù hình dạng cụ thể của độ lớn thay đổi giữa các chuẩn, Định lý 7.7 đảm bảo tính tương đương: sự hội tụ theo chuẩn $l_\infty$ suy ra sự hội tụ theo chuẩn $l_2$ và ngược lại.
$\|\mathbf{x}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_2 \leq \sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty$